Kontinuumshypothese und Topoi

Da man die Menge der reellen Zahlen auch allgemein als Kontinuum beschreibt, wurde Cantors Behauptung als Kontinuumshypothese bekannt. Diese erlangte schnell Bedeutung in der Mathematik, so stand sie an erster Stelle der berühmten 23 mathematischen Probleme, die David Hilbert im Jahre 1900 in Paris vortrug. Inzwischen ist das Problem, wie allgemein bekannt sein dürfte, gelöst. Allerdings auf eine Weise, an die Hilbert damals wohl nicht gedacht hätte. Kurt Gödel bewies 1938, dass sich die Kontinuumshypothese durch die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (siehe dazu Vortrag 10) nicht widerlegen lässt. Gut 25 Jahre später zeige Paul Cohen jedoch, dass sich die Kontinuumshypothese aber auch nicht aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre beweisen lässt. Wir möchten nun mit einer ähnlichen Argumentation wie Cohen folgenden Satz beweisen (womit wir nun von der Historie den Bogen zurück zur Kategorientheorie schlagen können):